@JL

il me semble que vous avez dit à FB que vous arriviez à la formule (2). 
Comme je l’ai expliqué dans mon com ci-dessus, j’aurais plutôt vu l’autre. 

Je crois que je viens enfin de comprendre ce qui vous pose problème.

Dans l’effet Doppler galiléen, si f1 est la fréquence d’émission, la fréquence f2 reçue par la sonde est
f2 = f1(1 - v/c)
parce que la sonde s’éloigne de l’émetteur.
Par le même raisonnement, la fréquence f3 de l’onde réfléchie par la sonde devrait être
f3 = f2(1 - v/c) = f1(1 - v/c)²
puisque la terre s’éloigne de la sonde qui devient l’émetteur.

Dans l’effet Doppler relativiste, si f1 est la fréquence d’émission, la fréquence f2 reçue par la sonde est
f2 = f1 sqrt[(1 - v/c) / (1 + v/c)]
parce que la sonde s’éloigne de l’émetteur.
Par le même raisonnement, la fréquence f3 de l’onde réfléchie par la sonde devrait être
f3 = f2 sqrt[(1 - v/c) / (1 + v/c)] = f1 (1 - v/c) / (1 + v/c)
puisque la terre s’éloigne de la sonde qui devient l’émetteur.

Votre intuition qu’il faut transformer la fréquence suivant la même formule à l’aller qu’au retour est tout-à-fait correcte, mais le résultat est différent suivant qu’on utilise la formule galiléenne ou relativiste.
La différence n’apparaît cependant qu’au second ordre en v/c.