Bon, je chipote un peu, mais Gödel ne remet pas franchement en cause la notion de preuve absolue.

Si une proposition a été démontrée dans un système jugé « raisonnable », elle est alors tout aussi « raisonnable » que les règles du système.

Ce que Gödel remet en cause, c’est le caractère « réponse à tout » de la logique, car il y aura toujours des propositions sur lesquelles on ne pourra pas trancher sans changer de système (en agrandissant l’ancien). Ceci reviendrait à dire « ah oui, mais j’avais oublié, il faut aussi que ceci soit vrai, et là je pourrai démontrer ce que je voulais »... un peu facile, non ?

En réalité cela se fait, mais il faudra bien évidemment que le fait ajouté au système soit encore jugé « raisonnable », notion subjective qui occasionne en général de longs débats philosophiques. Est-il « raisonnable » de raisonner avec le tiers-exclus ? Est-il « raisonnable » de poser l’axiome du choix comme vrai ?... La réponse à ces questions ne fait pas l’unanimité, ainsi plusieurs écoles de pensée co-existent.