Pour préciser votre commentaire, il n’y a quasiment aucun problème physique qui ait une solution analytique exacte. Une boutade de physicien : « Les seuls problèmes qui ont une solution analytique est le problème à deux corps (en gravitation) et l’oscillateur harmonique ».

Pour l’atome d’hydrogène, l’atome hydrogénoïde plus précisément, c’est à dire l’atome à un seul électron, on peut effectivement résoudre analytiquement l’équation de Schrödinger, même si c’est pas du gâteau (c’est pas non plus des maths de la mort qui tue...). C’est un système à deux corps. Et comme par hasard, loscillateur harmonique a aussi une solution analytique par l’équation de Schrödinger.
Mais c’est la même chose en astronomie : plus de deux corps, pas de solution analytique.

Mais comme vous dites, il y a des tas de façons de trouver des solutions non-analytiques, donc pas tout à fait exact, mais qui donne des résultats suffisamment précis pour être dans la marge d’incertitude nécessaire.