« Le plus souvent, le contrat de travail doit être écrit »

Pas du tout.
Ce qui compte c’est la DUE.

Après si il n’y a pas de contrat, c’est le code du travail et la convention collective qui font foi.

Je dirais même plus : il vaut mieux ne pas avoir de contrat de travail.
Le contrat de travail inclus souvent des clauses de mobilité et très souvent plus d’obligations pour le salarié.