Mr Dugué vous écrivez :

"La deuxième conjecture met en œuvre non seulement le sens physique mais aussi le « fonctionnement mathématique » de cette équation qui n’a qu’exceptionnellement des solutions mathématiques."

Vous vouliez certainement dire : solutions analytiques et pas mathématiques.
Mais c’est le cas de toutes les équations de la Physique de n’avoir des solutions analytiques que dans de rares cas.