@HClAtom

Vous m’avez demandé de vous montrer mes calculs. Les voici.

Les référentiels

La première chose à faire est de se donner un référentiel d’inertie. Je prends celui de Kepler, centré sur le centre du soleil et formés de trois axes orthogonaux construits à partir de trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées fixes. Ce référentiel est réputé galiléen pour des mesures qui s’échelonnent sur une durée d’au moins 100 millions d’années. Cela devrait suffire pour une expérience qui ne va durer qu’une vingtaine d’années. Dans ce référentiel facile à visualiser, le soleil est fixe et tout le reste bouge, mais les coordonnées des objets qui entrent en considération dans notre problème (terre et autre planètes, Proxima) sont connues avec précision en tous temps.

Pour les calculs de la trajectoire de la sonde, j’utilise un référentiel terrestre construit comme suit. La sonde est placée en orbite terrestre basse et passe à la verticale d’un point O sur la surface de la terre au temps t=0. Ce point se trouve donc sur le grand cercle formé par l’intersection du plan de l’orbite de la sonde avec la terre. Un premier axe du référentiel terrestre, l’axe des y, sera donc constitué par la verticale au point O en t=0. Le second axe, celui des x, sera la tangente au grand cercle défini ci-dessus. Le dernier axe, celui des z sera tout simplement orthogonal aux deux premiers. À noter que ce référentiel n’est pas entraîné par la rotation de la terre sur elle même. Après les calculs dans ce référentiel terrestre, il suffira de réécrire les résultats obtenus dans le référentiel de Kepler, au moyen d’une transformation de Galilée standard c’est à dire essentiellement en ajoutant à la vitesse vectorielle de la sonde obtenue par le calcul celle de la terre dans le référentiel de Kepler. (En toute rigueur, le référentiel terrestre étant moins galiléen que le référentiel de Kepler, il faudrait tenir compte de petits effets inertiels — force apparente de Coriolis, mais tout cela est bien connu et calculable.) 

Dans la discussion qui suit, je vais me contenter d’une démonstration de principe. Pour cela, j’aurai besoin d’une solution analytique du mouvement de la sonde dans mon référentiel terrestre. Et pour obtenir cette solution analytique sans trop de fatigue, je devrai négliger certains effets considérés comme petits mais qui compliqueraient inutilement les équations sans rien apporter de fondamental dans cette démonstration de principe.

Le laser se trouve donc en O, origine de mes axes au temps t=0. Il va ensuite se déplacer par rapport à ce point en suivant le parallèle sur lequel il se trouve. Ce parallèle est tangent au grand cercle au temps t=0, mais n’est pas dans le même plan que ce grand cercle. Le laser va donc se déplacer un tout petit peu dans la direction z de mon référentiel pendant l’intervalle de temps de dix minutes. Je vais négliger cet effet et faire comme si le laser se déplaçait sur l’axe des x tangent au grand cercle. De cette façon, j’obtiendrai des équations du mouvement de la sonde en deux dimensions au lieu de trois. J’expliquerai plus bas comment tenir compte correctement de cet effet dans les calculs finaux.

La position du laser sur l’axe des x est donc tout simplement

x = v t (1)

où v est lié à la vitesse de rotation de la terre sur elle-même, et à la latitude choisie, par la relation

v = 2 pi R cos(latitude) / (24*3600),

où R = 6371000 m est le rayon de la terre, 24 le nombre d’heures dans un jour et 3600 le nombre de seconde dans une heure. Pour donner une idée de l’ordre de grandeur, supposons que la latitude est de 60 degrés. Cela donne

v = 231.66 m/s

Au cours des dix minutes que va durer l’accélération par le laser, celui-ci va parcourir une distance de 231.66*600 = 139 km.

La sonde, elle, passe sur l’axe des y au temps t=0 à une vitesse V parallèle à l’axe des x. Cette vitesse sur une orbite circulaire est liée à la hauteur H de l’orbite par la relation simple

V = sqr[G M / (R + H)], (2)

où G = 6.674 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2 est la constante de gravitation et M = 5.9722*10^24 kg la masse de la terre.

On choisit une orbite basse, dont la hauteur va se situer entre 160 et 2000 km. Avec le parachute dont est équipée la sonde, l’orbite doit être aussi loin que possible de l’atmosphère résiduelle, dans les limites du budget. Je vais donc choisir H = 1000 km.

Avec ces valeurs, la vitesse de la sonde est donc

V = 7848.3 m/s.

Au cours des dix minutes que va durer l’accélération par le laser, la sonde aurait donc parcouru 7848.3*600 = 4709 km si elle avait continué en ligne droite.

Bon, après cette introduction pointilleuse, il est temps de passer au calcul du mouvement de la sonde.

A SUIVRE