Les équations du mouvement dans le référentiel terrestre

Étant limité au point de vue typographique, je vais utiliser des minuscules pour désigner la position et la vitesse du laser, et des majuscules pour celles de la sonde. Pour les dérivées temporelles, j’utiliserai l’apostrophe. Donc, par exemple, X’’(t), abrégé par X’’ sera l’accélération de la sonde au temps t suivant l’axe des x.

En t=0, le laser se trouve à l’origine O du référentiel terrestre et la sonde sur l’axe des y qui est la verticale de l’endroit. On déclenche le laser à ce moment.La force due au laser sera donc purement verticale en t=0, mais la sonde et le laser ont chacun une vitesse suivant l’axe des x. Donc après ce moment, le rayon laser devra être dirigé à un certain angle a (lire alpha) variable avec l’axe des y et mesuré à partir de la position du laser pour continuer à pointer vers la sonde. 

La sonde est aussi soumise à la gravité de la terre. En t=0, cette force est purement verticale, mais en un temps ultérieur, elle fera un angle ã (lire alpha tilde) avec l’axe des y et mesuré à partir du centre de la terre. 

Les équations du mouvement s’écrivent donc

m Y’’ = F cos(a) - f cos(ã), (3)

m X’’ = F sin(a) - f sin(ã), (4)

où m est la masse de la sonde, F la force due au laser et f la force gravitationnelle.

Pour la force F due au laser, je me base sur le fait que la sonde devrait atteindre une vitesse de c/5, soit 60000 km/s au bout de dix minutes. Avec une masse m de 1 g, cette force devrait être de 60000000/(1000*600) = 100 N et fournir un accélération de 100000 m/s^2. Pour la gravité, il suffit de savoir que le poids d’une masse de 1 g est de 0.01 N sur la terre et moins à 1000 km d’altitude.

Je néglige donc la gravité dans (3) et (4) qui deviennent donc

m Y’’ = F cos(a), (5)

m X’’ = F sin(a). (6)

Il s’agit d’une paire d’équations différentielles couplées par un angle a qui lui-même dépend des positions X, Y et x de la sonde et du laser. Je commence par diviser (6) par (5) pour obtenir l’équation

X’’/Y’’ = tan(a) = (X - x)/Y

ou encore

X’’ Y - Y’’(X - x) = 0. (7)

Le système à résoudre est donc (5) et (7).

Pour résoudre (5), je vais faire une dernière simplification, en supposant que a reste assez petit pendant les 10 minutes pour que cos(a) puisse être approximé par 1 dans (5).

(5) devient donc

Y’’ = F/m. (8)

La solution de (8) est immédiate :

Y’(t) = Y’(0) + (F/m) t = (F/m) t (9)

puisque la vitesse de la sonde est purement horizontale en t=0.

Y(t) = Y(0) + (F/2m) t^2 = H + (F/2m) t^2 (10)

puisque la sonde se trouve à la hauteur H sur l’axe des y en t=0.

Pour résoudre (7), il suffit d’y substituer (8) et (10). On obtient

X’’ [H + (F/2m) t^2] - (F/m) (X - x) = 0. (11)

En posant 

Q = X - x, (12)

b^2 = 2 H m / F, (13)

on obtient

Q’’ - 2 Q / (b^2 + t^2) = 0. (14)

Cette équation se laisse intégrer assez facilement. Je vous laisse le plaisir de vérifier que la solution s’écrit

Q(t) = A (b^2 + t^2) + B [b t + (b^2 + t^2) atan(t/b)], (15)

où A et B sont des constantes d’intégration à déterminer un utilisant les conditions initiales en t=0.

Commençons par calculer la dérivée temporelle de (15)

Q’(t) = 2 A t + 2 B [b + t atan(t/b)]. (16)

Introduisons la définition de Q (12)

X(t) = x + A (b^2 + t^2) + B [b t + (b^2 + t^2) atan(t/b)], (17)

X’(t) = v + 2 A t + 2 B [b + t atan(t/b)]. (18)

Il suffit maintenant d’imposer les conditions initiales pour déterminer A et B.

Position initiale : X(0) = 0, x(0) = 0, donc

0 = A b^2 et A = 0, bon débarras.

Vitesse initiale : X’(0) = V, donc

V = v + 2 B b et B = (V - v)/(2b).

On a donc finalement

X(t) = v t + (1/2)(V - v) [t + (1/b)(b^2 + t^2) atan(t/b)], (19)

X’(t) = v + (V - v)[1 + (t/b) atan(t/b)], (20)

et, en recopiant (9) et (10),

Y(t) = H + (F/2m) t^2 (21)

Y’(t) = (F/m) t (22)

A SUIVRE