@Francis, agnotologue
 
Attachez votre ceinture de sécurité.
 
On commence par la somme infinie S₁ = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1....
Difficile de savoir ce que ça vaut. Suivant l’endroit où l’on s’arrête, les sommes partielles donnent 0 ou 1.
Écrivons ceci : S₁ = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₁
Donc S₁ = 1/2.
 
Maintenant, que vaut la somme infinie S₂ = 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6... ?
Écrivons ceci : S₂ = 1 — (2 — 3 + 4 — 5 + 6...)
= 1 — (1— 2 + 3 — 4 + 5 — 6...) — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₂ — S₁
Donc, S₂ = 1 — S₂ — 1/2 = 1/2 — S₂ et finalement, S₂ = 1/4
 
Après cette luxueuse introduction, voyons ce que vaut S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5...
Écrivons ceci : S₃ — S₂ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5...) — (1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6...)
= (4 + 8 + 12 + 16 + 20...) = 4S₃
Donc 3S₃ = — S₂ = — 1/4 et finalement, S₃ = — 1/12
 
À méditer