@cyrus

Je te donne un autre exemple :
la série S = 1 — x + x² — x³ ... = 1 + (-x) + (-x)² + (-x)³ ...

La somme partielle des n premiers termes vaut [1 — (-x)^n] / [1 — (-x)]

Si |x| < 1, la somme partielle tend vers 1 / [1 — (-x)] = 1 / (1 +x) lorsque n tend vers l’infini.

Pour |x| < 1, on a donc

1 — x + x² — x³ ... = 1 / (1 + x)

Passage à la limite x→1 :

à gauche, on a 1 — 1 + 1 — 1 + 1...

à droite, on a 1/2

Si on passe à la limite dans chaque terme, on obtient une série qui ne converge pas.
Si on effectue la sommation et ensuite passe à la limite dans le résultat, on obtient 1/2.