Bonjour rogal,
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Merci d’avoir posé la question.
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Sur Wikipedia est marque que la banque de France à été nationalisé en 1945 (techniquement parlent au 1 janvier 1946) mais en pratique elle est piloté par le secteur privée !
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La BCE appartient aux banques centrales de la zone Euro donc certains sont considéré comme « publique » et d’autres sont en partie « publique » et en partie privées.

Mais en pratique tout est gérée par le secteur privée comme montre l’exemple suivant :

Et voici la pratique :
Un banquier privé peut-il diriger la Banque de France ?

https://www.liberation.fr/france/2015/09/15/pour-150-economistes-la-banque-de-france-ne-doit-pas-etre-dirige-par-un-banquier-prive_1382949

Cent-cinquante économistes dénoncent la nomination par l’Elysée de François Villeroy de Galhau, ex-dirigeant de BNP-Paribas. en raison d’un « grave problème de conflit d’intérêts ».

A lire aussi :

https://www.lemonde.fr/economie/article/2015/09/15/banque-de-france-polemique-sur-le-choix-du-futur-gouverneur_4757378_3234.html