@JC_Lavau
Je suis d accord avec vos textes. Mais je crois qu’ils passent mal, car ils sont perçus comme une complication, alors que c est la base.

- Les nombres naturels (ordinaux) sont construit à partir du rien (zéro) et d une relation d’ordre (supérieur) qui désigne un successeur ( +1 ) :
0 < 0 +1 = 1 < 1 +1 = 2 < 2 +1 = 3 < ...
Ils caractérisent une quantité (cardinal d un ensemble).

- L addition est une succession de successeurs : 2 + 3 signifie le 3eme successeur de 2 : 2 + 3 = 2 +1 +1 +1

- La multiplication est une succession d additions : 3 fois 2 = 3 . 2 = 2 + 2 + 2.

- L exposant une succession de multiplications : 2 ^ 3 = 2 . 2 . 2

ainsi de suite ... : 2 ^^ 3 = 2 ^ 2 ^ 2

Mais au final, on fait toujours la même opération , on cherche une série de successeurs ( +1 ). Et l on compte toujours la même chose, que l on ne nomme jamais : des cailloux.

Si on utilise des inconnues X et Y, on peut écrire : (2.X) . (3.Y) = 6.X.Y

Mais c est toujours des cailloux et la seule opération finalement utilisée est ( +1 )

Maintenant en physique :
 
ils y a des « grandeurs » des quantités de nature et de propriétés différentes  :
par exemple mètre (m) et gramme (g)

On veut faire 2 mètres fois 3 grammes : (2.m) . (3.g) = 6.m.g

C est comme les maths ?
Non, car par définition la multiplication est issue de l addition, et on additionne des mètres avec des grammes : m + g ! Ce qui n a pas de sens physique !

Le problème vient du fait que l on calcule sur 2 objets différents, contrairement à l arithmétique.

Finalement ce qu’on fait en physique c est une « combinaison » (notée *) de chaque mètre avec chaque gramme :
( m + m ) * ( g + g + g ) = ( mg + mg + mg + mg + mg + mg ) = 6.mg

Et on a du définir une nouvelle grandeur : le metre-gramme, différente du mètre et du gramme.

Cette opération est t elle un produit cartésien en math ?
Non , pour 2 raisons : 
- dans le produit cartésien, on construit des « couples » ( m, (m, g)), et non pas des paires ( m, g )
- il ne peut y avoir de doublons dans les ensembles. Si ( m ) est un ensemble, et ( m, m ) un autre, ils sont égaux car tous les éléments de l un sont dans l autre et réciproquement (axiome d extensionnalité).
Cela signifie qu en théorie des ensembles ZF, un ensemble de 2 fois l objet mètre est égal à celui qui contient 1 fois l objet mètre. Ce qui est incompatible avec les besoins de la physique.