Abou, en tant qu’agrégé, vous ne pouvez vraiment pas aller un peu plus loin ou nous montrer au moins où se trouve la difficulté pour un élève de terminale ?
Je pense comme l’auteur que vous connaissez la solution et que vous testez les prétendus matheux dont je fais partie. Je pense comme l’auteur que ce n’est pas le lieu ici il y a plein de forums de maths sur le web et en outre on ne peut ici ni faire un dessin, ni écrire une formule.
En tout cas, comme j’avais quelques instants ce soir je me suis penché sur votre cas.
Voici quelques conclusions.
Si vous faites un dessin vous verrez immédiatement que si R est le rayon du cercle initial le rayon du cercle R’ cherché est compris entre R et R*racine(2). Comme j’aurais aimé avoir des étudiants au moins capable de faire cette conclusion pendant mes dernières années d’exercice.
Donc R’=kR avec 1<k<1.414
L’équation qui permet de déterminer k peut s’écrire comme la somme de deux intégrales dont les bornes dépendent de k, somme qui doit être égale à pi/4.
Tout élève de terminale scientifique à l’ancienne doit être capable d’établir cette équation sinon de la résoudre. Ce problème peut donc être partiellement adressé à des élèves de lycée.
Je ne parviens pas à résoudre cette équation sans moyen de calcul (c’est possible de trouver à la main des approximations mais c’est très long). Donc, à ma connaissance, puisqu’il s’agit d’un cas particulier d’intégrales dites ’elliptiques’ il faut des moyens de calcul. C’est d’ailleurs un très bon exemple d’utilisation des ordinateurs puisqu’on en parle :
Voici un programme python qui donne la réponse :
import math
from scipy.integrate import quad

def int1(r) :
 def integrand(x) :
 return math.sqrt(r*r-(x-1)*(x-1))
 return quad(lambda x : integrand(x),1-r,1-r*r/2)
def int2(r) :
 def integrand(x) :
 return math.sqrt(1-x*x)
 return quad(lambda x:integrand(x),1-r*r/2,1)
def func(r) :
 return int1(r)[0]+int2(r)[0]

def main(n) :
 ideal=math.pi/4
 delta=(math.sqrt(2)-1)/n
 for h in range(0,n) :
 x1=1+h*delta
 x2=1+(h+1)*delta
 if (func(x1)-ideal)*(func(x2)-ideal)<0 :
 print x1

if __name__ == « __main__ » :
 main(10000)

La réponse est k=1.1587

Comme vous connaissez la réponse nul doute que vous saurez me reprendre si ce n’est pas exact.
Maintenant pour ce qui est de vos triangles à côtés ’infinis’ je n’en ai jamais rencontré un et je n’ai jamais rencontré de mathématicien qui en connaissent. S’ils continuent de hanter vos nuits, n’hésitez pas consultez un psy.