@Bernard Dugué

Comme le fait remarquer Norbert, il n’y a pas que l’équation de Schrödinger qui est rarement intégrable. C’est aussi le cas de l’équation de Newton.
Il y a deux cas non triviaux où les équations classiques et quantiques ont des solutions analytiques :

1 Le problème à deux corps soumis à une force radiale inversement proportionnelle au carré de la distance (terre-soleil en astronomie, atome d’hydrogène en mécanique quantique).

2 L’oscillateur harmonique qui se laisse résoudre analytiquement dans le formalisme de Newton, de Lagrange, de Hamilton (intégration par transformation canonique) et de Poisson pour la mécanique classique, et dans le formalisme de Schrödinger ou des matrices de Heisenberg pour la mécanique quantique.

À parts ces cas simples, il faut procéder à des simplifications, procéder par approximations successives (calculs de perturbations) ou utiliser des méthodes numériques.

Pour le problème à N corps, on a un exemple où les équations de Schrödinger permettent de déduire des propriétés non classiques à peu de frais : la physique de l’état solide.
Rien qu’avec les équations de Schrödinger (et la simplification adiabatique), et la statistique de Fermi (que l’on ajoute « à la main »), on trouve un spectre de bandes d’énergie.