@Francis, agnotologue

Suite

Pour S₂, la méthode de Cesaro ne fonctionne pas, mais il existe une autre méthode due à Abel. Elle consiste à multiplier chaque terme de la série par x^n (qui vaut 1 lorsque x tend vers 1), de voir si la série converge au sens classique puis d’effectuer le passage à la limite du résultat lorsque x tend vers 1.

On définit donc la fonction f(x) = 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... qui est bien égale à notre S₂ quand on passe à la limite pour x tend vers un dans chaque terme. Mais ici, on calcule la somme avant de passer à cette limite.
Pour cela on pose
g(x) = 1/(1 + x)
et on utilise son développement en série de Taylor :
g(x) = 1 — x + x^2 — x^3...
On dérive ces deux expressions par rapport à x :
— 1 / (1 + x)^2 = — 1 + 2 x — 3 x^2 + 4 x^3...
Le membre de gauche converge vers — 1/4 lorsque x tend vers 1, tandis que membre de droite tend vers S₂.
On a donc retrouvé le résultat S₂ = 1/4.

Que conclure ?
Supposons qu’on mesure une quantité physique et qu’on trouve 1/4.
D’un autre côté on dispose d’un modèle théorique simplifié qui permet de prévoir le résultat de cette mesure sous la forme 1 — 2 + 3 — 4 + 5... qui comme on le sait ne converge pas. 
Est-ce une catastrophe ? Peut-être, mais on peut imaginer qu’un modèle plus exact que le modèle simplifié aurait donné comme prévision la limite de 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... lorsque x tend vers 1.

C’est un peu ce qui se passe dans l’effet Casimir. La mesure d’une certaine grandeur donne — 1/12 alors que la théorie prévoit 1 + 2 + 3 + 4 + 5...