De la fragilité, devenue force de l’esprit
Les mots n'expriment jamais rien de bien réel, selon un ami. Et c'est bien qu'il en soit ainsi. L’ambiguïté des mots excite le sens de la curiosité. Tu sais, m'expliqua-t-il un jour, mon maître au lycée de Tunis disait ceci à ses élèves au début de l'année : "votre prof de maths vous enseigne que 2+2 font 4. Moi, je suis prof de lettres et je vous le dis et le répète 2+2 font 3".
Ceci dit, on est libre de choisir ce que l'on veut dans la vie et plus personne ne peut se poser en juge sur notre personne. Libre de ne pas accepter toujours des choses et des vérités préétablies. De ne pas être raisonnable. La folie est parfois un chemin vers la vérité. Et puis, n'oublie pas aussi mon ami, que la fragilité est une qualité !" "Mais comment être fragile peut-il être une qualité ? Tu déraisonnes là, je pense !" lui répondis-je un peu blasé "Non, la déraison est dans tes propres paroles" "Comment ça ?" " Un être fragile n'est pas faible et être fragile ne veut aucunement dire qu'on est dans l'impuissance, ou la faiblesse." " Peux-tu expliquer davantage s'il te plaît" " Les faibles sont soumis aux puissants, ils deviennent parfois leurs esclaves et les suivent aveuglément sans se poser trop de questions. Mais les fragiles jamais" "Mais pourquoi ?" "Parce qu'ils sont, en vérité, sensibles à la vie, vigoureux, jamais pétrifiés par les idéologies. Ils sont juste ouverts au monde qu'ils interrogent sans cesse. Ils sont des hommes de doute" " Un fragile vigoureux ? Quelle contradiction !" "Je te l'avais déjà expliqué au départ : les mots n'expriment jamais rien de bien réel et c'est bien qu'il en soit ainsi. Et ben, fragile n'est pas le contraire de vigoureux, mais son propre synonyme. Un être faible, par exemple, s'écrase dans la vie pour avoir la vie facile : ils s'humilie, devient esclave de l'argent et des autres, bafoue sa dignité, son honneur, sa personne. Tout ça pour avoir la vie facile. Mais un être fragile : il s'interroge tout le temps sur son devenir et sa personne, et refuse cette facilité de la vie, faite au détriment de sa dignité et de sa propre personne".
Kamal Guerroua.
41 réactions
-
-
Francis, agnotologue
20 mai 2021 11:30
’’fragile n’est pas le contraire de vigoureux, mais son propre synonyme.’’
Amha, fragile et faible sont tous deux antonymes de vigoureux et de fort. Mais fragile et faible ne sont pas synonymes entre eux, pas plus que le ne sont vigoureux et fort entre eux.
L’eau chaude et l’eau froide sont toutes deux contraires à l’eau tiède, mais ne sont pas une seule et même chose.
ps : 2+2 ne font pas 3 mais 5 .
-
Ben Schott
20 mai 2021 11:43
@Francis, agnotologue
« ps : 2+2 ne font pas 3 mais 5 . »
Ah non ! 2 + 2 = 22 !
Signé P1000
-
Francis, agnotologue
20 mai 2021 11:49
@Ben Schott
oui, je sais : j’ai écrit 2+2=5 par étourderie. ll s’agit évidemment de 2+2=22
Merci pour votre vigilance. -
popov
20 mai 2021 15:36
@Francis, agnotologue
Je pourrais vous démontrer que 1+2+3+4+5+... = -1/12 ?
Vous avez bien lu : la somme de tous les entiers positifs vaut le nombre négatif -1/12
-
popov
20 mai 2021 17:03
@Francis, agnotologue
Attachez votre ceinture de sécurité.
On commence par la somme infinie S₁ = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1....
Difficile de savoir ce que ça vaut. Suivant l’endroit où l’on s’arrête, les sommes partielles donnent 0 ou 1.
Écrivons ceci : S₁ = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₁
Donc S₁ = 1/2.
Maintenant, que vaut la somme infinie S₂ = 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6... ?
Écrivons ceci : S₂ = 1 — (2 — 3 + 4 — 5 + 6...)
= 1 — (1— 2 + 3 — 4 + 5 — 6...) — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
= 1 — S₂ — S₁
Donc, S₂ = 1 — S₂ — 1/2 = 1/2 — S₂ et finalement, S₂ = 1/4
Après cette luxueuse introduction, voyons ce que vaut S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5...
Écrivons ceci : S₃ — S₂ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5...) — (1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6...)
= (4 + 8 + 12 + 16 + 20...) = 4S₃
Donc 3S₃ = — S₂ = — 1/4 et finalement, S₃ = — 1/12
À méditer -
pemile
20 mai 2021 17:08
@popov « Attachez votre ceinture de sécurité. »
D’autres « manipulations » dont celles de Ramanujan.
https://fr.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
-
Francis, agnotologue
20 mai 2021 18:06
@popov
’’S1 = 1 — S₁ Donc S₁ = 1/2. ’’
Faux : S1 = 1 ou 0
Le reste est à l’avenant. Normal, l’infini n’est pas un opérateur du même ordre que les nombres. -
Francis, agnotologue
20 mai 2021 18:33
@popov
Dans la boîte de Schrödinger il y a un chat à moitié mort, oui ou non ? -
popov
21 mai 2021 02:08
@Francis, agnotologue
Rien à voir.Dans la boîte de Schrödinger il y a un chat à moitié mort, oui ou non ?
Je vais vous expliquer ce qui est faux dans le raisonnement que j’ai développé ci-dessus.
Quand on écrit S₁ = 1 — 1 + 1 — 1+ 1...(somme d’un nombre infini de termes), ce n’est pas anodin. En arithmétique, la somme est une opération définie pour deux nombres. On peut facilement généraliser à une somme d’un nombre fini de termes grâce à l’associativité de la somme. Mais quand on écrit une somme d’un nombre infini de termes, il faut définir ce que l’on entend par là.
La définition classique, c’est la limite des sommes partielles quand le nombre d’étapes tend vers l’infini.
Dans le cas de S₁, la suite des sommes partielles vaut 1, 0, 1, 0, 1, 0... ce qui ne tend pas vers une valeur. Dans ce cas, on dit que la somme ne converge pas.Prenons un autre exemple la somme S = 1 + a + a² + a³ + a⁴...
Dans ce cas, la somme partielle des n premiers termes vaut S(n) = (1 — a^n) / (1 — a) (somme des termes d’une progression géométrique)
Si on fait tendre n vers l’infini, on constate que cette expression tend vers un nombre fini 1 / (1 — a) si a est inférieur à 1.
En particulier, si a = 1/2. on a 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 1 / (1 — 1/2) = 2
Mine de rien, nous venons de résoudre le paradoxe de la dichotomie de Xénon.
Ceci pour constater qu’il y a des sommes infinies qui convergent et d’autres qui ne convergent pas.Dans une somme d’un nombre infini de termes, on ne peut, en principe, modifier l’ordre des termes ni procéder à des regroupements sous peine d’obtenir n’importe quoi. Par exemple, si on regroupe les termes positif et négatifs de S₁,
S₁ = (1+1 +1 +1 ...) — (1+1 +1 +1 ...). On serait tenté de dire S₁ = 0.
On peut alors extraire le premier terme de le première parenthèse :
S₁ = 1 + (1+1 +1 +1 ...) — (1+1 +1 +1 ...). On serait alors tenté de dire S₁ = 1.
On peut continuer ainsi et obtenir n’importe quelle valeur.Dans le raisonnement ci-dessus, j’ai écrit
S₁ = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1... = 1 — (1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1...)
Autrement dit, j’ai effectué un regroupement de termes interdit. C’est là que se trouve l’erreur : manipuler des grandeurs non définies comme s’il s’agissait de nombres.Et pourtant, le physicien aimerait que S₁ soit égal à 1/2.
À suivre
-
Francis, agnotologue
21 mai 2021 08:27
@popov
merci pour ces longues explications, mais est-ce que j’ai dit autre chose ?
J’ai voulu résumer tout ça en une phrase : « l’infini n’est pas un opérateur du même ordre que les nombres ».
Plus simplement encore et c’est pareil : « l’infini n’est pas un nombre ». -
popov
21 mai 2021 09:40
@Francis, agnotologue
merci pour ces longues explications, mais est-ce que j’ai dit autre chose ?
Oui, vous avez raison, mais je voulais l’expliquer plus en détail.
Et je n’ai pas fini. -
popov
21 mai 2021 10:04
@Francis, agnotologue
Suite
Cesaro a donné un définition plus souple de la somme d’un nombre infini de termes, qui donne le même résultat que la définition classique dans le cas d’une somme convergente et qui donne un résultat fini pour certaines sommes que la définition classique ne permet pas de calculer.
Au lieu de prendre la limite des sommes partielles, Cesaro prend la limite de leur valeur moyenne à chaque étape. Dans le cas de S₁, les sommes partielles sont :
1, 0, 1, 0, 1, 0...
et les moyennes :
1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2, 4/7...
Les valeurs successives se répartissent sur deux branches, l’une donnant la valeur fixe 1/2 et l’autre les valeurs 1, 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, 6/11 qui tendent vers 1/2.
Les deux branches donnent donc la même valeur 1/2, On dit que cette somme converge vers 1/2 au sens de Cesaro.À noter que la sommation à la Cesaro a donné exactement le même résultat (1/2) que le raisonnement faux développé dans le premier com. Il y aurait donc peut-être quelque chose de pas tout à fait insensé dans ce raisonnement erroné.
À suivre
-
popov
21 mai 2021 10:27
@Francis, agnotologue
Suite
Pour S₂, la méthode de Cesaro ne fonctionne pas, mais il existe une autre méthode due à Abel. Elle consiste à multiplier chaque terme de la série par x^n (qui vaut 1 lorsque x tend vers 1), de voir si la série converge au sens classique puis d’effectuer le passage à la limite du résultat lorsque x tend vers 1.
On définit donc la fonction f(x) = 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... qui est bien égale à notre S₂ quand on passe à la limite pour x tend vers un dans chaque terme. Mais ici, on calcule la somme avant de passer à cette limite.
Pour cela on pose
g(x) = 1/(1 + x)
et on utilise son développement en série de Taylor :
g(x) = 1 — x + x^2 — x^3...
On dérive ces deux expressions par rapport à x :
— 1 / (1 + x)^2 = — 1 + 2 x — 3 x^2 + 4 x^3...
Le membre de gauche converge vers — 1/4 lorsque x tend vers 1, tandis que membre de droite tend vers S₂.
On a donc retrouvé le résultat S₂ = 1/4.Que conclure ?
Supposons qu’on mesure une quantité physique et qu’on trouve 1/4.
D’un autre côté on dispose d’un modèle théorique simplifié qui permet de prévoir le résultat de cette mesure sous la forme 1 — 2 + 3 — 4 + 5... qui comme on le sait ne converge pas.
Est-ce une catastrophe ? Peut-être, mais on peut imaginer qu’un modèle plus exact que le modèle simplifié aurait donné comme prévision la limite de 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3... lorsque x tend vers 1.C’est un peu ce qui se passe dans l’effet Casimir. La mesure d’une certaine grandeur donne — 1/12 alors que la théorie prévoit 1 + 2 + 3 + 4 + 5...
-
popov
21 mai 2021 10:32
@Kamal GERROUA
Voilà, j’espère que vous avez compris que je voulais illustrer votre article.
Même en physique, il est parfois nécessaire de se livrer à des raisonnements fragiles, qui frôlent le précipice, pour y gagner en fécondité.
-
Francis, agnotologue
21 mai 2021 10:59
@popov
’’Pour S₂, la méthode de Cesaro ne fonctionne pas,’’
C’est ce que j’avais constaté.
’’On définit donc la fonction f(x) = 1 — 2 x + 3 x^2 — 4 x^3. ’’
On pourrait plus concisément écrire : f(x) = 1 — 2^x + 3^x — 4^x ... qui converge vers S2 quand x tend vers zéro. -
popov
21 mai 2021 11:48
@Francis, agnotologue
...mais comment sommer 1 — 2^x + 3^x — 4^x ... ?On pourrait plus concisément écrire : f(x) = 1 — 2^x + 3^x — 4^x ... qui converge vers S2 quand x tend vers zéro.
-
popov
21 mai 2021 11:50
@Francis, agnotologue
Et puis, 1 — 2^x + 3^x — 4^x .. tend vers S₁, pas vers S₂ quand x tend vers 0.
-
Francis, agnotologue
21 mai 2021 12:13
@popov
’’Et puis, 1 — 2^x + 3^x — 4^x .. tend vers S₁, pas vers S₂ quand x tend vers 0’’
Mais non, n^0 = n et non pas 1 -
popov
21 mai 2021 13:27
@Francis, agnotologue
n^0 = 1. C’est n^1 qui vaut n.Mais non, n^0 = n et non pas 1
-
popov
21 mai 2021 15:21
@cyrus
en fait on voit un nombre juste mathematiquement (-1/12) ,
mais qui ne correspond a rien de phisique pouisque on as bidouiller de manier quantitative , des somme inquantifiable don on ne peut que predire les domaine .
On sait bien que ces sommes ne convergent pas au sens classique de la définition.Ce qui est fascinant, c’est qu’il existe plusieurs méthodes différentes qui les font converger vers une seule et même valeur.
Et ce qui est encore plus fascinant, dans le cas de S₃, c’est que dans la modélisation de l’effet Casimir, la théorie prédit un résultat sous la forme S₃ = 1 + 2 + 3 + 4... et la mesure donne précisément — 1/12. Donc, cette valeur — 1/12 correspond bien à quelque chose de physique.
J’ai donné une piste pour chercher une explication basée sur la méthode d’Abel et S₂. En résumé, quand les termes contiennent un paramètre variable, on n’obtient pas nécessairement le même résultat si on prend la limite de chaque terme avant de sommer ou si on somme d’abord et qu’on prend ensuite la limite du résultat. Les opérations de passage à la limite et de sommation ne commutent pas nécessairement.
Pour S₁, j’avais vu un exemple où la valeur devait être 1/2 quand j’étais étudiant. Un exemple basé sur une série de Fourier, mais que je ne parviens pas à retrouver.
-
pierre
21 mai 2021 15:48
@cyrus : 3h39
@popov
un melange d’ achile et la tortue , et de 1/0 ou infini/1 des nombre par definition inquantifiable en dehors de leur tendance et de leur limite ...
joli tour de passe passe ...
en fait on voit un nombre juste mathematiquement (-1/12) ,
mais qui ne correspond a rien de phisique pouisque on as bidouiller de manier quantitative , des somme inquantifiable don on ne peut que predire les domaine .c’ est le coup de l’ adiition des poir et des banne en un peut plus subtil ...
-
Francis, agnotologue
21 mai 2021 16:02
@popov
mais oui, je m’en suis rendu compte, mais trop tard.
Au temps pour moi, pour ces deux erreurs. -
popov
21 mai 2021 16:49
@Philippe Huysmans, Complotologue
Quand on se retrouve avec une série infinie qui n’est pas visiblement divergente, on consulte les tables de séries, comme « Table of Integrals, Series and Products » de Gradshteyn and Ryzhik.
De mon temps, il fallait se payer le livre. Maintenant, il est en ligne ici, en format pdf gratuit.Ou peut aussi essayer l’ami Wolfram, l’auteur du logiciel de calcul symbolique Mathematica et qui met plusieurs modules un peu émasculés en ligne gratuitement.
Il y en a des milliers de séries qui ont été résolues. Si la série converge, il y a des chances que Wolfram donne le résultat. Par exemple, on peut calculer la série 1/n^2 et trouver π²/6 (sous cette forme symbolique) en quelques secondes, résultat qui est par ailleurs facile à démontrer.
Mais tout cela reste calé sur la définition classique de la somme d’une série infinie. Il y a relativement peu de séries divergentes connues auxquelles on peut associer une valeur en utilisant des procédés tous aussi inavouables l’un que l’autre comme ceux que j’ai montrés dans mes commentaires. Je crois qu’il y a là tout un domaine de mathématique à développer.
-
popov
21 mai 2021 16:51
@Francis, agnotologue
Pas grave, dans ce domaine, tout le monde fait des erreurs, tout le temps.
-
Kamal GUERROUA.
21 mai 2021 19:37
@popov, Je vois bien que mes démonstrations littéraires se sont transformées en équations mathématiques. La réalité est que, historiquement, les mathématiques sont issues de la philosophie. Cela veut dire que je n’ai pas dérogé à la règle...
-
popov
24 mai 2021 15:01
@cyrus
Je te donne un autre exemple :
la série S = 1 — x + x² — x³ ... = 1 + (-x) + (-x)² + (-x)³ ...La somme partielle des n premiers termes vaut [1 — (-x)^n] / [1 — (-x)]
Si |x| < 1, la somme partielle tend vers 1 / [1 — (-x)] = 1 / (1 +x) lorsque n tend vers l’infini.
Pour |x| < 1, on a donc
1 — x + x² — x³ ... = 1 / (1 + x)
Passage à la limite x→1 :
à gauche, on a 1 — 1 + 1 — 1 + 1...
à droite, on a 1/2
Si on passe à la limite dans chaque terme, on obtient une série qui ne converge pas.
Si on effectue la sommation et ensuite passe à la limite dans le résultat, on obtient 1/2.
-
-
Réflexions du Miroir
20 mai 2021 18:51
Il faudrait peut-être lire « La Poésie des nombres » en 26 tomes
-
Kamal GUERROUA.
21 mai 2021 19:40
@Réflexions du Miroir
J’essaierai et vous tiendrai au courant as soon as possible !
-
-
Jean Keim
21 mai 2021 08:19
Extrait du dictionnaire Le Littré :
<< FRAGILE, FAIBLE. L’homme fragile diffère de l’homme faible en ce que le premier cède à son coeur, à ses penchants, et le second à des impulsions étrangères. La fragilité suppose des passions vives, et la faiblesse l’inaction et le vide de l’âme, Encyclop. VII, 273 >>
-
Old Dan
21 mai 2021 08:25
Bon article !...
... avec des commentaires à la hauteur.
(C’est pas souvent...
) -
Mélusine ou la Robe de Saphir.
21 mai 2021 17:45
https://www.youtube.com/watch?v=lJJoNrzlK_4. Pourquoi les hypersensibles, créatifs et à haut potentiel dépasseront les Goliath, rationnels et enfermés dans leur logique productive. L’hypersensible déteste fondamentalement deux mots : domination et compétition.. (donc inintégrables dans la société actuelle) Pourquoi les derniers seront le premiers. Parce qu’ils ont une qualité que n’ont pas les autres : ils ont des ANTENNES très développées. A ne pas confondre avec Asperger. Même si les deux sont mal à l’aise dans les groupes. Les Aspergers sont très recherchés dans les entreprises pour leur compétences spécifiques, ils ne sont pas arrêtés par leur empathie, hyper-compétents et rarement fatigués (plutôt cerveaux gauche, — I.A.), en général on les case dans un bureau au fond du couloir. Au contraire de l’hypersensible empathique. Sa sensibilité est globale, il raisonne en arborescence (une idée en entraîne une autre). Raison pour laquelle on a du mal à les suivre (cerveau droit).
-
Mélusine ou la Robe de Saphir.
21 mai 2021 17:53
Conseil aux faux fragiles hypersensibles : faire de sa faiblesse une force,. Je suis différent du système, mais ce n’est pas parce que moi je ne m’intègre pas. C’est parce que vous, vous ne ne pouvez pas suivre. Marchant au rythme moutonnier, vous ne voyez pas le futur et êtes bloqués sur le présent. Raison pour laquelle les archéoptérix ont survécu aux dinosaures (GOLIATH). ils ont acquis des ailes qui leur permirent de voir le danger de loin......
-
Pauline pas Bismutée
21 mai 2021 18:22
@Mélusine ou la Robe de Saphir.
Et bien Mélusine je plusse....
’L’hypersensible déteste fondamentalement deux mots : domination et compétition’.
’Parce qu’ils ont une qualité que n’ont pas les autres : ils ont des ANTENNES très développées’Absolument. Artiste aussi, je me reconnais bien dans ce portrait, et notre « apparente fragilité » nous fait souvent passer pour des naïfs imbéciles, alors que nous voyons souvent a travers les autres, en tous cas plus souvent qu’il n’est sans doute bon pour nous, sans jamais avoir le besoin de se mettre en avant, donc très peu supportable pour les prétentieux, ’béliers’ fonce dans tout, épris de domination et compétition..
Quant aux démonstrations de math par l’absurde, mon cerveau gauche, pitié...
)