@Philippe Huysmans, Complotologue

Quand on se retrouve avec une série infinie qui n’est pas visiblement divergente, on consulte les tables de séries, comme « Table of Integrals, Series and Products » de Gradshteyn and Ryzhik.

De mon temps, il fallait se payer le livre. Maintenant, il est en ligne ici, en format pdf gratuit.

Ou peut aussi essayer l’ami Wolfram, l’auteur du logiciel de calcul symbolique Mathematica et qui met plusieurs modules un peu émasculés en ligne gratuitement.

Il y en a des milliers de séries qui ont été résolues. Si la série converge, il y a des chances que Wolfram donne le résultat. Par exemple, on peut calculer la série 1/n^2 et trouver π²/6 (sous cette forme symbolique) en quelques secondes, résultat qui est par ailleurs facile à démontrer.

Mais tout cela reste calé sur la définition classique de la somme d’une série infinie. Il y a relativement peu de séries divergentes connues auxquelles on peut associer une valeur en utilisant des procédés tous aussi inavouables l’un que l’autre comme ceux que j’ai montrés dans mes commentaires. Je crois qu’il y a là tout un domaine de mathématique à développer.