@Fergus
bonjour,
les établissements scolaires privés, plus particulièrement ceux sous contrats, participent au service public d’éducation mais le contrat qu’ils signent ne rentre pas, à mon sens, dans le cadre juridique de la délégation de service public : 
Selon le Code général des collectivités territoriales (article L.1411-1), la délégation de service public (DSP) est « un contrat par lequel une personne morale de droit public confie la gestion d’un service public dont elle a la responsabilité à un délégataire public ou privé  ». 
L’Etat ne confie pas la gestion du service de l’éducation aux établissements scolaires privés.
En tout cas c’est un point juridique à approfondir.